Kirchhoff-törvények - első és második törvény

A Kirchhoff-törvények az elektromos hálózatok elemzésének két alapvető szabályát adják meg. Az első törvény a csomóponti áramok mérlegét, a második pedig a zárt hurok feszültségmérlegét írja le. Az ellenállások, tekercsek, kondenzátorok és források egyenleteivel együtt egyszerű egyenáramú áramkörök és összetett ipari hálózatok számítására is használhatók.

A Kirchhoff-törvények képezik a csomóponti potenciálok módszerének, a hurokáramok módszerének, a zárlati számításoknak, a háromfázisú hálózati modelleknek és a SPICE típusú szimulátoroknak az alapját. Nem kizárólag iskolai, elemből és ellenállásokból álló kapcsolásokra vonatkoznak, hanem a modern hálózatelmélet topológiai vázát adják.

Kirchhoff első és második törvénye – képletek

Törvény	Algebrai alak	Jelentés
Kirchhoff első törvénye	$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} I_k = 0$	A csomóponti áramok előjeles összege nulla.
Kirchhoff második törvénye	$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} U_k = 0$	Egy zárt hurok feszültségváltozásainak előjeles összege nulla.

Az első egyenletben a csomópontba befolyó és az onnan kifolyó áramoknak ellentétes előjelet kell adni. A második egyenletben az előjeleket a hurok választott körüljárási iránya, valamint a források és a fogyasztók polaritása határozza meg.

Csomópont, ág, út és hurok

Az egyenletek felírása előtt helyesen kell azonosítani az áramkör topológiai szerkezetét. A hálózatelmélet több, egymástól eltérő fogalmat használ.

Fogalom	Jelentés
Csomópont	Ideális vezetőkkel összekötött pontok halmaza, amelyek azonos potenciálon vannak.
Ág	Két csomópont között elhelyezkedő elem vagy sorosan kapcsolt elemek együttese.
Út	Egymást követő ágak sorozata, amelyen a hálózatban végig lehet haladni.
Hurok	Olyan zárt út, amely ugyanabban a csomópontban kezdődik és végződik.
Elemi vagy független hurok	Olyan, a számításhoz kiválasztott hurok, amely nem ismétli meg más hurok teljes információtartalmát.

Kirchhoff második törvénye bármely zárt hurokra felírható. A hurokáramok módszere azonban célszerűen megválasztott, egymástól független hurkokat használ.

Kirchhoff első törvénye – a csomóponti törvény

Kirchhoff első törvénye, más néven csomóponti vagy áramtörvény, az elektromos töltés megmaradásából következik. Angol rövidítése KCL, azaz Kirchhoff’s Current Law.

Ha egy idealizált csomópontban nem halmozódik fel tartósan töltés, akkor a befolyó áramok összege megegyezik a kifolyó áramok összegével:

$\displaystyle \sum I_{\mathrm{be}} = \sum I_{\mathrm{ki}}$

Ha a befolyó áramokat pozitívnak, a kifolyó áramokat negatívnak választjuk, az egyenlet például így írható fel:

$\displaystyle I_1 + I_2 - I_3 - I_4 = 0$

Példa: árameloszlás egy 24 V DC vezérlőáramkörben

Egy vezérlőszekrény tápelosztási pontjába 3,6 A áram folyik be. A csomópont három fogyasztói csoportot táplál:

PLC és be-/kimeneti modulok: 1,2 A,
érzékelők és jelátalakítók: 0,8 A,
relé- és kontaktortekercsek: ismeretlen áram.

A csomóponti egyenlet:

$\displaystyle 3{,}6 - 1{,}2 - 0{,}8 - I_4 = 0$

Ebből:

$\displaystyle I_4 = 3{,}6 - 1{,}2 - 0{,}8 = 1{,}6\ \mathrm{A}$

Ha a mért kifolyó áramok összege nem egyezik meg a betáplálási árammal, akkor a különbség oka lehet kihagyott ág, mérési hiba, szivárgó áram vagy hibásan azonosított mérési pont.

Kirchhoff második törvénye – a huroktörvény

Kirchhoff második törvénye, más néven feszültségtörvény vagy huroktörvény, egy zárt út potenciálváltozásainak mérlegét írja le. Angol rövidítése KVL, azaz Kirchhoff’s Voltage Law.

Az áramköri forrásfeszültségek és az elemeken fellépő feszültségesések előjeles összege nulla:

$\displaystyle \sum E_k - \sum U_k = 0$

Ezzel egyenértékű alak:

$\displaystyle \sum E_k = \sum U_k$

Koncentrált paraméterű áramköri modellben a források által az egységnyi töltésnek átadott energia megegyezik a fogyasztókban, vezetékekben, érintkezőkben és csatlakozásokban leadott energiával. Időben változó mágneses fluxus esetén az indukált elektromotoros erőt is szerepeltetni kell a hurokegyenletben.

Előjelszabályok a hurokegyenletben

Elem és áthaladási irány	Potenciálváltozás
Ellenállás, az áram irányával megegyező haladás	$-RI$
Ellenállás, az áram irányával ellentétes haladás	$+RI$
Feszültségforrás, a negatív kapocstól a pozitív felé	$+E$
Feszültségforrás, a pozitív kapocstól a negatív felé	$-E$

A hurok körüljárási iránya tetszőlegesen választható. Az ellenkező irány az összes tag előjelét megváltoztatja, de következetes felírás esetén a fizikai eredmény változatlan marad.

Példa: feszültségesések egy kontaktortekercs áramkörében

Egy kontaktor tekercse 24 V DC feszültségről működik és 0,4 A áramot vesz fel. A vezetékek teljes ellenállása 2 Ω, az érintkezők és kapcsok együttes ellenállása 0,5 Ω.

A vezetékeken fellépő feszültségesés:

$\displaystyle U_p = I R_p = 0{,}4 \cdot 2 = 0{,}8\ \mathrm{V}$

Az érintkezőkön és kapcsokon fellépő feszültségesés:

$\displaystyle U_s = I R_s = 0{,}4 \cdot 0{,}5 = 0{,}2\ \mathrm{V}$

A tekercs kapocsfeszültsége:

$\displaystyle U_c = 24 - 0{,}8 - 0{,}2 = 23\ \mathrm{V}$

A huroktörvény ellenőrzése:

$\displaystyle 24 - 0{,}8 - 0{,}2 - 23 = 0$

Ez a mérleg gépek hibakeresésénél is hasznos. Ha a tekercs feszültsége túl kicsi, az egymást követő feszültségesések mérése segít megtalálni a túl nagy ellenállású vezetéket, érintkezőt, biztosítót vagy kapcsot.

Kirchhoff-törvények alkalmazása lépésről lépésre

Rajzold fel az áramkört, és jelöld meg a csomópontokat és ágakat.
Vegyél fel tetszőleges irányt az ismeretlen ágáramokhoz.
Jelöld a feszültségek polaritását az elemeken.
Válaszd ki a hurokegyenletek körüljárási irányát.
Írd fel a független csomóponti egyenleteket.
Írd fel a szükséges független hurokegyenleteket.
Egészítsd ki a rendszert az elemek egyenleteivel, például az Ohm-törvénnyel.
Oldd meg az egyenletrendszert.
Ellenőrizd a csomóponti árammérleget, a hurok feszültségmérlegét és a teljesítménymérleget.

Az áramirányok tetszőlegesen felvehetők

A számítás megkezdése előtt nem mindig ismert az áram tényleges iránya. Ilyenkor a referenciairány szabadon felvehető.

Ha az egyenlet megoldása:

$\displaystyle I = -2{,}4\ \mathrm{A}$

az nem számítási hibát jelent. A negatív előjel azt mutatja, hogy a tényleges áram 2,4 A nagyságú, de a rajzon felvett referenciairánnyal ellentétesen folyik.

Hány független Kirchhoff-egyenlet írható fel?

Nem minden csomóponti és hurokegyenlet független. Az összes elképzelhető egyenlet felírása ugyanannak az információnak az ismétléséhez vezethet.

Egy összefüggő hálózatban legyen:

N – a csomópontok száma,
B – az ágak száma.

A független csomóponti egyenletek száma:

$\displaystyle N - 1$

A független hurkok száma:

$\displaystyle L = B - N + 1$

Egy csomópontot referenciacsomópontnak választunk, és potenciálját rendszerint 0 V-nak tekintjük. Emiatt legfeljebb N – 1 független csomóponti potenciál marad.

Ha a hálózat több, egymással nem összekapcsolt részből áll, a független hurkok általános száma:

$\displaystyle L = B - N + C$

ahol C az összefüggő hálózatrészek száma.

A csomóponti potenciálok módszere

A csomóponti potenciálok módszere Kirchhoff első törvényének rendszeres alkalmazása. Az ismeretlenek a kiválasztott referenciacsomóponthoz képest mért csomóponti feszültségek.

Válassz referenciacsomópontot, és rendelj hozzá 0 V potenciált.
Jelöld a többi csomópont feszültségét.
Fejezd ki az ágáramokat a csomóponti feszültségek különbségével és az elemek paramétereivel.
Írd fel a csomóponti törvényt az egymástól független csomópontokra.
Oldd meg a kapott egyenletrendszert.

Példa csomóponti egyenletre

Egy U feszültségű csomópont:

12 Ω ellenálláson keresztül 24 V feszültségű ponthoz kapcsolódik,
24 Ω ellenálláson keresztül a referenciacsomóponthoz kapcsolódik,
0,5 A áramforrás táplálja a vizsgált csomópont felé.

A csomópontból kifolyó áramokat pozitívnak választva:

$\displaystyle \frac{U-24}{12}+\frac{U}{24}-0{,}5=0$

Az egyenletet 24-gyel megszorozva:

$\displaystyle 2U-48+U-12=0$

$\displaystyle 3U=60$

$\displaystyle U=20\ \mathrm{V}$

A 12 Ω ellenálláson befolyó áram:

$\displaystyle I_1=\frac{24-20}{12}=0{,}333\ \mathrm{A}$

A 24 Ω ellenálláson kifolyó áram:

$\displaystyle I_2=\frac{20}{24}=0{,}833\ \mathrm{A}$

A csomóponti mérleg:

$\displaystyle 0{,}333+0{,}5-0{,}833=0$

A csomóponti módszer mátrixos alakja

Lineáris rezisztív hálózatnál az egyenletrendszer:

$\displaystyle \mathbf{G}\mathbf{U}=\mathbf{I}$

G – vezetőképességi mátrix,
U – a csomóponti feszültségek vektora,
I – a csomópontokba betáplált áramok vektora.

Szinuszos állandósult állapotban a vezetőképességi mátrix helyét az admittanciamátrix veszi át:

$\displaystyle \mathbf{Y}\mathbf{\underline{U}}=\mathbf{\underline{I}}$

Ez a mátrixos alak többcsomópontos hálózatok és számítógépes áramkör-szimulátorok alapja.

A hurokáramok módszere

A hurokáramok módszere Kirchhoff második törvényének rendszeres alkalmazása. Az ismeretlenek a kiválasztott független hurkokhoz rendelt számítási áramok.

Vizsgáljunk két hurkot:

az első hurokban 24 V-os forrás és 4 Ω-os ellenállás található,
a második hurokban 12 V-os forrás és 6 Ω-os ellenállás található,
a két hurok közös ellenállása 2 Ω.

Legyen az I₁ és I₂ hurokáram az óramutató járásával megegyező irányú. A hurokegyenletek:

$\displaystyle (4+2)I_1-2I_2=24$

$\displaystyle -2I_1+(6+2)I_2=12$

Egyszerűsítve:

$\displaystyle 6I_1-2I_2=24$

$\displaystyle -2I_1+8I_2=12$

Az egyenletrendszer megoldása:

$\displaystyle I_1=\frac{54}{11}\approx4{,}91\ \mathrm{A}$

$\displaystyle I_2=\frac{30}{11}\approx2{,}73\ \mathrm{A}$

A közös ellenállás áramát a hurokáramok különbsége adja:

$\displaystyle I_3=I_1-I_2=\frac{24}{11}\approx2{,}18\ \mathrm{A}$

A hurokáram számítási változó. Egy kizárólag egy hurokhoz tartozó ágban megegyezik az ágárammal, közös ágban azonban a megfelelő hurokáramok összege vagy különbsége adja a tényleges ágáramot.

Kirchhoff-törvények váltakozó áramú hálózatokban

A Kirchhoff-törvények váltakozó áramú hálózatokra is érvényesek. Időtartományban a pillanatértékekre írhatók fel:

$\displaystyle \sum i_k(t)=0$

$\displaystyle \sum u_k(t)=0$

Szinuszos állandósult állapotban komplex effektív értékek, illetve fázorok használhatók:

$\displaystyle \sum \underline{I}_k=0$

$\displaystyle \sum \underline{U}_k=0$

Az Ohm-törvény ekkor:

$\displaystyle \underline{U}=Z\underline{I}$

Elem	Időtartománybeli egyenlet	Impedancia szinuszos állapotban
Ellenállás	$u(t)=Ri(t)$	$Z_R=R$
Tekercs	$\displaystyle u(t)=L\frac{di(t)}{dt}$	$Z_L=j\omega L$
Kondenzátor	$\displaystyle i(t)=C\frac{du(t)}{dt}$	$\displaystyle Z_C=\frac{1}{j\omega C}$

Példa soros R-L áramkörre

Egy 20 Ω-os ellenállást és 30 Ω induktív reaktanciájú tekercset tartalmazó soros áramkörre 230 V effektív feszültséget kapcsolunk.

Az impedancia:

$\displaystyle Z=20+j30\ \Omega$

Az impedancia abszolút értéke:

$\displaystyle |Z|=\sqrt{20^2+30^2}=36{,}06\ \Omega$

Az impedancia fázisszöge:

$\displaystyle \varphi=\arctan\left(\frac{30}{20}\right)=56{,}31^\circ$

Az áram:

$\displaystyle \underline{I}=\frac{230\angle0^\circ}{36{,}06\angle56{,}31^\circ}=6{,}38\angle-56{,}31^\circ\ \mathrm{A}$

Az ellenállás feszültsége:

$\displaystyle \underline{U}_R=127{,}6\angle-56{,}31^\circ\ \mathrm{V}$

A tekercs feszültsége:

$\displaystyle \underline{U}_L=191{,}3\angle33{,}69^\circ\ \mathrm{V}$

Kirchhoff második törvénye szerint:

$\displaystyle \underline{U}=\underline{U}_R+\underline{U}_L$

A 127,6 V és 191,3 V abszolút értékeket nem szabad egyszerűen összeadni, mert a két feszültség fázisszöge eltérő. A komplex összeg adja vissza a 230 V-os forrásfeszültséget.

Kirchhoff-törvények háromfázisú hálózatban

Egy háromfázisú hálózat csillagpontjában az összes csatlakozó vezető áramfázorának előjeles összege nulla:

$\displaystyle \underline{I}_{L1}+\underline{I}_{L2}+\underline{I}_{L3}+\underline{I}_{N}=0$

Az előjelek a választott referenciairányoktól függenek. Szimmetrikus lineáris terhelésnél a fázisáramok azonos nagyságúak és 120°-kal eltoltak:

$\displaystyle \underline{I}_{L1}+\underline{I}_{L2}+\underline{I}_{L3}=0$

Ideális szimmetrikus rendszerben ezért a nullavezető árama nulla. Aszimmetrikus terhelés vagy felharmonikusok jelenléte esetén azonban a nullavezető jelentős áramot vezethet.

Az árammérleg fontos az elosztók, gyűjtősínek és vezetékek tervezésénél, de nem helyettesíti a hőtechnikai ellenőrzést. A keresztmetszet és a tartós áram kapcsolatát a vezeték terhelhetőség táblázat mutatja be részletesebben.

Ipari alkalmazások

24 V DC vezérlőáramkörök

A csomóponti törvény segítségével elemezhető a PLC-k, be- és kimeneti modulok, érzékelők, relék és mágnesszelep-tekercsek közötti árameloszlás. A huroktörvény a vezetékek, érintkezők, csatlakozók és védelmi készülékek feszültségesésének feltárására használható.

Elosztók és többcsomópontos hálózatok

Minden gyűjtősín vagy kapcsolódási pont csomópontként modellezhető. A transzformátorok, vezetékek, fogyasztók és források admittanciáinak felírásával az egész hálózatot leíró csomóponti egyenletrendszer állítható össze.

Mátrixos alakban:

$\displaystyle \mathbf{Y}_{\mathrm{bus}}\mathbf{\underline{U}}_{\mathrm{bus}}=\mathbf{\underline{I}}_{\mathrm{bus}}$

Ez a hálózati feszültségek, árameloszlások, zárlatok és kapcsolási állapotok számításának egyik kiindulópontja.

Zárlati számítások

Zárlatkor a transzformátorokból, generátorokból, motorokból és teljesítményelektronikai átalakítókból érkező áramok a hibahelyen találkoznak. Nagyságukat és eloszlásukat továbbra is a csomóponti és huroktörvény, valamint a hálózati elemek impedanciája határozza meg.

A professzionális zárlatszámítás azonban nem egyetlen egyszerű Kirchhoff-egyenletből áll. Forrás-, transzformátor- és vezetéki modelleket, szimmetrikus összetevőket és szabványos számítási eljárásokat alkalmaz, például az IEC 60909 sorozat szerint.

SPICE szimuláció

Az áramkör-szimulátor a Kirchhoff-törvényekből és az elemek modelljeiből származó egyenleteket állítja össze, majd numerikusan oldja meg őket. Az elemzés típusától függően meghatározhatja az egyenáramú munkapontot, a váltakozó áramú frekvenciamenetet vagy az időfüggő tranziens jelalakokat.

A módosított csomóponti analízis a klasszikus csomóponti módszert további ismeretlenekkel egészíti ki, például az ideális feszültségforrások és tekercsek áramával. Így egységes mátrixos modell készíthető összetett áramkörökhöz.

Kirchhoff-törvények és az áramköri elemek egyenletei

A Kirchhoff-törvények önmagukban nem írják le az ellenállás, a motor, a transzformátor vagy a kondenzátor viselkedését. Csak az áramok és feszültségek topológiából következő kapcsolatát adják meg.

A teljes modell az alábbiak összekapcsolásával jön létre:

KCL – a csomóponti árammérleg,
KVL – a hurok feszültségmérlege,
az egyes elemek konstitutív egyenletei,
a kezdeti feltételek és a források gerjesztései.

Soros R-L áramkörnél például Kirchhoff második törvénye a következő differenciálegyenlethez vezet:

$\displaystyle u_s(t)-Ri(t)-L\frac{di(t)}{dt}=0$

A derivált tagot nem maga a huroktörvény hozza létre, hanem a tekercs feszültség-áram összefüggése.

A teljesítménymérleg ellenőrzése

Az áramkör megoldása után érdemes ellenőrizni a teljesítménymérleget is. Passzív előjel-konvenció mellett az összes elem teljesítményének összege nulla:

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} p_k(t)=0$

A pozitív teljesítmény energiafelvételt, a negatív teljesítmény pedig az áramkörbe történő energia-visszatáplálást jelent. Szinuszos állandósult állapotban a komplex teljesítmények mérlege is ellenőrizhető:

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\underline{S}_k=0$

A mérleg hibája általában előjelhibára, téves áramirányra, hibás impedanciára vagy kihagyott áramköri elemre utal.

Gyakori hibák a Kirchhoff-egyenletek felírásakor

az előjel-konvenció megváltoztatása ugyanazon egyenleten belül,
a hurokáram összekeverése a közös ág tényleges áramával,
az összes lehetséges egyenlet felírása a független egyenletek kiválasztása helyett,
a váltakozó áramú feszültségek abszolút értékeinek egyszerű számtani összeadása,
a negatív árameredmény számítási hibaként való értelmezése,
a vezetékek, érintkezők és csatlakozások ellenállásának elhanyagolása,
az indukált feszültség kihagyása változó mágneses fluxust körülvevő hurokban,
a teljesítménymérleg ellenőrzésének elmulasztása.

Mikor nem elegendő a koncentrált paraméterű áramköri modell?

A klasszikus áramkörelmélet koncentrált paraméterű elemeket használ. Feltételezi, hogy az ellenállás, induktivitás és kapacitás különálló elemekhez rendelhető, az összekötő vezetékek pedig ideálisnak vagy egyszerű helyettesítő paraméterekkel leírhatónak tekinthetők.

Ez a közelítés általában megfelelő 24 V DC vezérlőkörökhöz, 50 Hz-es hálózatokhoz és sok ipari berendezéshez. Nem feltétlenül elegendő azonban az alábbi esetekben:

frekvenciaváltóról táplált hosszú motorkábelek,
gyors PWM feszültségmeredekségek,
kommunikációs buszok,
nagyfrekvenciás áramkörök,
induktív és kapacitív csatolások,
változó mágneses térben elhelyezkedő nagy kiterjedésű vezetékhurkok.

Ha a vezeték hossza a hullámhosszhoz képest már nem elhanyagolható, vagy a terjedési idő összemérhető a jel változási idejével, elosztott paraméterű modellre, például távvezetékmodellre van szükség.

A huroktörvény és a változó mágneses fluxus

Egy zárt út pontos elektromágneses leírása Faraday indukciós törvényéből következik:

$\displaystyle \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=-\frac{d\Phi_B}{dt}$

Ha a hurok időben változó mágneses fluxust fog közre, az elektromos tér nem konzervatív, és indukált elektromotoros erő jelenik meg. Az áramköri modellben ezt további forrásként vagy indukált feszültségként kell figyelembe venni.

Az összes forrás és indukált feszültség szerepeltetése után a hurokmérleg teljessé válik. Nem a Kirchhoff-törvény szűnik meg, hanem a túl egyszerű kapcsolási modell válik elégtelenné.

Kirchhoff-törvények és a villamos berendezések méretezése

A Kirchhoff-törvényekkel meghatározhatók az áramok és feszültségek, de önmagukban nem adják meg a vezeték megengedett terhelését, a védelmi készülék megszakítóképességét vagy a szükséges csatlakozási teljesítményt.

A villamos berendezés tervezésénél az áramköri eredményeket össze kell vetni a vezetékek hőterhelhetőségével, a feszültségeséssel, a zárlati viszonyokkal és a védelmi követelményekkel. A teljesítmény, áram és névleges biztosító kapcsolatát az amper-kW táblázat mutatja be.

Kirchhoff-törvények – csomóponti és huroktörvény