Kirchhoffovy zákony - vzorce, příklady a výpočty

Kirchhoffovy zákony jsou dvě základní pravidla analýzy elektrických obvodů. První zákon popisuje bilanci proudů v uzlu a druhý zákon bilanci napětí v uzavřené smyčce. Spolu s rovnicemi rezistorů, cívek, kondenzátorů a zdrojů umožňují řešit jednoduché stejnosměrné obvody i rozsáhlé průmyslové sítě.

Kirchhoffovy zákony tvoří základ metody uzlových napětí, metody smyčkových proudů, zkratových výpočtů, modelů trojfázových soustav a simulátorů typu SPICE. Nejde tedy pouze o školní pravidla pro obvod s baterií a rezistorem, ale o topologický základ moderní teorie obvodů.

První a druhý Kirchhoffův zákon – vzorce

Zákon	Algebraický zápis	Význam
První Kirchhoffův zákon	$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} I_k = 0$	Algebraický součet proudů v uzlu je roven nule.
Druhý Kirchhoffův zákon	$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} U_k = 0$	Algebraický součet napětí v uzavřené smyčce je roven nule.

V proudové rovnici musí mít proudy vstupující do uzlu a proudy vystupující z uzlu opačná znaménka. V napěťové rovnici závisejí znaménka na zvoleném směru obcházení smyčky a na polaritě zdrojů a prvků.

Uzel, větev, dráha a smyčka

Před sestavením rovnic je nutné správně rozpoznat topologii obvodu. Jednotlivé pojmy nelze používat zaměnitelně.

Pojem	Význam
Uzel	Soubor vodivě spojených bodů se stejným potenciálem.
Rozvětvený uzel	Místo, ve kterém se setkávají nejméně tři větve.
Větev	Prvek nebo soubor prvků zapojených mezi dvěma uzly.
Dráha	Posloupnost navazujících větví, po kterých lze procházet obvodem.
Smyčka	Uzavřená dráha začínající a končící ve stejném uzlu.
Jednoduchá nebo nezávislá smyčka	Smyčka zvolená tak, aby přinášela nezávislou rovnici a zbytečně neopakovala informace z jiných smyček.

Druhý Kirchhoffův zákon lze zapsat pro libovolnou uzavřenou smyčku. Metoda smyčkových proudů však používá vhodně zvolenou soustavu nezávislých smyček.

První Kirchhoffův zákon

První Kirchhoffův zákon, označovaný také jako proudový zákon nebo KCL z anglického Kirchhoff’s Current Law, vychází ze zákona zachování elektrického náboje.

Jestliže se v idealizovaném uzlu trvale nehromadí náboj, musí být součet proudů vstupujících do uzlu roven součtu proudů vystupujících:

$\displaystyle \sum I_{\mathrm{vstup}} = \sum I_{\mathrm{výstup}}$

Při volbě vstupujících proudů jako kladných a vystupujících jako záporných může mít rovnice například tvar:

$\displaystyle I_1 + I_2 - I_3 - I_4 = 0$

Příklad: rozdělení proudu v řídicím obvodu 24 V DC

Do rozvodného bodu v řídicí skříni přitéká proud 3,6 A. Z uzlu jsou napájeny tři skupiny spotřebičů:

PLC a moduly vstupů a výstupů: 1,2 A,
snímače a převodníky: 0,8 A,
cívky relé a stykačů: neznámý proud.

Rovnice uzlu:

$\displaystyle 3{,}6 - 1{,}2 - 0{,}8 - I_4 = 0$

Odtud:

$\displaystyle I_4 = 3{,}6 - 1{,}2 - 0{,}8 = 1{,}6\ \mathrm{A}$

Pokud součet naměřených odchozích proudů neodpovídá přívodnímu proudu, může být příčinou opomenutá větev, chyba měření, unikající proud nebo nesprávně určený uzel.

Obecnější bilance náboje má tvar:

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} i_k(t) = -\frac{dq(t)}{dt}$

V běžném obvodovém modelu se ukládání náboje popisuje kapacitou. Proud kondenzátoru je potom jedním z proudů větví zahrnutých do KCL.

Druhý Kirchhoffův zákon

Druhý Kirchhoffův zákon, označovaný také jako napěťový zákon nebo KVL z anglického Kirchhoff’s Voltage Law, popisuje bilanci změn napětí v uzavřené smyčce.

V modelu se soustředěnými parametry je algebraický součet napětí zdrojů a úbytků napětí na prvcích roven nule:

$\displaystyle \sum E_k - \sum U_k = 0$

Rovnocenně:

$\displaystyle \sum E_k = \sum U_k$

Energie dodaná zdroji se v prvcích obvodu přeměňuje nebo ukládá. Může se měnit například na teplo, mechanickou práci nebo energii elektrického a magnetického pole.

Pravidla znamének v napěťové rovnici

Prvek a směr průchodu	Změna potenciálu
Rezistor, průchod ve směru proudu	$-RI$
Rezistor, průchod proti směru proudu	$+RI$
Zdroj, průchod od záporné svorky ke kladné	$+E$
Zdroj, průchod od kladné svorky k záporné	$-E$

Směr obcházení smyčky lze zvolit libovolně. Při obrácení směru se změní znaménka všech členů, ale při důsledném zápisu zůstane fyzikální výsledek stejný.

Příklad: úbytky napětí v obvodu cívky stykače

Cívka stykače je napájena napětím 24 V DC a odebírá proud 0,4 A. Celkový odpor vodičů je 2 Ω a odpor kontaktů a svorek 0,5 Ω.

Úbytek napětí na vodičích:

$\displaystyle U_v = I R_v = 0{,}4 \cdot 2 = 0{,}8\ \mathrm{V}$

Úbytek na kontaktech a svorkách:

$\displaystyle U_s = I R_s = 0{,}4 \cdot 0{,}5 = 0{,}2\ \mathrm{V}$

Napětí na cívce:

$\displaystyle U_c = 24 - 0{,}8 - 0{,}2 = 23\ \mathrm{V}$

Kontrola druhého Kirchhoffova zákona:

$\displaystyle 24 - 0{,}8 - 0{,}2 - 23 = 0$

Taková bilance je užitečná při diagnostice strojů. Pokud je napětí na cívce příliš nízké, měření jednotlivých úbytků pomáhá najít vodič, kontakt, pojistku nebo svorku se zvýšeným odporem.

Směry proudů lze zvolit libovolně

Před vyřešením obvodu nemusí být skutečný směr proudu známý. Směr lze proto nejprve zvolit jako referenční.

Pokud výpočet poskytne:

$\displaystyle I = -2{,}4\ \mathrm{A}$

nejde automaticky o chybu. Záporné znaménko znamená, že skutečný proud má velikost 2,4 A a teče opačně než směr zvolený ve schématu.

Kolik nezávislých rovnic je potřeba

Ne všechny rovnice uzlů a smyček jsou nezávislé. Zápis každé možné rovnice může pouze opakovat stejnou informaci.

Pro jednu souvislou síť s:

N – počtem uzlů,
B – počtem větví,

je počet nezávislých uzlových rovnic:

$\displaystyle N - 1$

Počet nezávislých smyček:

$\displaystyle L = B - N + 1$

Jeden uzel se volí jako referenční a jeho napětí se obvykle položí rovno 0 V. Zůstává tedy nejvýše N – 1 nezávislých uzlových napětí.

Pro síť složenou z několika vzájemně nepropojených částí platí obecně:

$\displaystyle L = B - N + C$

kde C je počet souvislých částí grafu. Tyto vztahy jsou topologické a nezávisejí na hodnotách rezistorů ani zdrojů.

Metoda uzlových napětí

Metoda uzlových napětí je systematickou aplikací prvního Kirchhoffova zákona. Neznámými jsou napětí jednotlivých uzlů vzhledem k referenčnímu uzlu.

Zvolte referenční uzel a přiřaďte mu napětí 0 V.
Označte napětí ostatních uzlů.
Vyjádřete proudy větví pomocí rozdílů napětí a parametrů prvků.
Zapište KCL pro nezávislé uzly.
Vyřešte vzniklou soustavu rovnic.

Příklad uzlové rovnice

Uzel s napětím U je spojen:

s uzlem 24 V přes rezistor 12 Ω,
s referenčním uzlem přes rezistor 24 Ω,
se zdrojem proudu 0,5 A orientovaným do analyzovaného uzlu.

Při volbě proudů vystupujících z uzlu jako kladných:

$\displaystyle \frac{U-24}{12}+\frac{U}{24}-0{,}5=0$

Po vynásobení rovnice číslem 24:

$\displaystyle 2U-48+U-12=0$

$\displaystyle 3U=60$

$\displaystyle U=20\ \mathrm{V}$

Proud přitékající přes rezistor 12 Ω:

$\displaystyle I_1=\frac{24-20}{12}=0{,}333\ \mathrm{A}$

Proud odtékající přes rezistor 24 Ω:

$\displaystyle I_2=\frac{20}{24}=0{,}833\ \mathrm{A}$

Kontrola bilance uzlu:

$\displaystyle 0{,}333+0{,}5-0{,}833=0$

Maticový zápis metody uzlových napětí

Pro lineární rezistorovou síť lze soustavu rovnic zapsat jako:

$\displaystyle \mathbf{G}\mathbf{U}=\mathbf{I}$

G – matice vodivostí,
U – vektor uzlových napětí,
I – vektor proudů vstřikovaných do uzlů.

V harmonickém ustáleném stavu se používá matice admitancí:

$\displaystyle \mathbf{Y}\mathbf{\underline{U}}=\mathbf{\underline{I}}$

Takový zápis je základem analýzy rozsáhlých sítí a počítačových programů pro řešení obvodů.

Superuzel a supersmyčka

Ideální zdroj napětí zapojený mezi dvěma nereferenčními uzly nelze přímo popsat proudem podle Ohmova zákona. Oba uzly se proto spojí do superuzlu, pro který se zapíše společná proudová rovnice a samostatná vazba daná napětím zdroje.

Pokud je ideální zdroj proudu ve společné větvi dvou smyček, používá se supersmyčka. Napěťová rovnice se zapíše po obvodu obou smyček mimo větev se zdrojem a doplní se rovnicí určující rozdíl smyčkových proudů.

Metoda smyčkových proudů

Metoda smyčkových proudů je systematickou aplikací druhého Kirchhoffova zákona. Neznámými jsou pomocné proudy přiřazené nezávislým smyčkám.

Klasická metoda je nejpřehlednější pro planární obvody, které lze nakreslit bez křížení větví mimo uzly. U neplanárních sítí se používá obecnější výběr nezávislých smyček nebo metoda uzlových napětí.

Uvažujme dvě smyčky:

první se zdrojem 24 V a rezistorem 4 Ω,
druhou se zdrojem 12 V a rezistorem 6 Ω,
společný rezistor obou smyček má odpor 2 Ω.

Zvolme smyčkové proudy I₁ a I₂ ve směru hodinových ručiček. Rovnice KVL:

$\displaystyle (4+2)I_1-2I_2=24$

$\displaystyle -2I_1+(6+2)I_2=12$

Po úpravě:

$\displaystyle 6I_1-2I_2=24$

$\displaystyle -2I_1+8I_2=12$

Řešení:

$\displaystyle I_1=\frac{54}{11}\approx4{,}91\ \mathrm{A}$

$\displaystyle I_2=\frac{30}{11}\approx2{,}73\ \mathrm{A}$

Proud společným rezistorem:

$\displaystyle I_3=I_1-I_2=\frac{24}{11}\approx2{,}18\ \mathrm{A}$

Smyčkový proud je výpočtová proměnná. Ve větvi patřící pouze jedné smyčce je roven proudu větve, zatímco ve společné větvi se uplatní součet nebo rozdíl příslušných smyčkových proudů.

Kirchhoffovy zákony ve střídavých obvodech

Kirchhoffovy zákony platí také ve střídavých obvodech. V časové oblasti se zapisují pro okamžité hodnoty:

$\displaystyle \sum i_k(t)=0$

$\displaystyle \sum u_k(t)=0$

V harmonickém ustáleném stavu lze použít komplexní efektivní hodnoty neboli fázory:

$\displaystyle \sum \underline{I}_k=0$

$\displaystyle \sum \underline{U}_k=0$

Ohmův zákon má potom tvar:

$\displaystyle \underline{U}=Z\underline{I}$

Prvek	Rovnice v časové oblasti	Impedance v harmonickém stavu
Rezistor	$u(t)=Ri(t)$	$Z_R=R$
Cívka	$\displaystyle u(t)=L\frac{di(t)}{dt}$	$Z_L=j\omega L$
Kondenzátor	$\displaystyle i(t)=C\frac{du(t)}{dt}$	$\displaystyle Z_C=\frac{1}{j\omega C}$

Příklad sériového obvodu R-L

Na sériový obvod s rezistorem 20 Ω a cívkou s reaktancí 30 Ω je přivedeno efektivní napětí 230 V.

Impedance:

$\displaystyle Z=20+j30\ \Omega$

Modul impedance:

$\displaystyle |Z|=\sqrt{20^2+30^2}=36{,}06\ \Omega$

Fázový úhel:

$\displaystyle \varphi=\arctan\left(\frac{30}{20}\right)=56{,}31^\circ$

Proud:

$\displaystyle \underline{I}=\frac{230\angle0^\circ}{36{,}06\angle56{,}31^\circ}=6{,}38\angle-56{,}31^\circ\ \mathrm{A}$

Napětí na rezistoru:

$\displaystyle \underline{U}_R=127{,}6\angle-56{,}31^\circ\ \mathrm{V}$

Napětí na cívce:

$\displaystyle \underline{U}_L=191{,}4\angle33{,}69^\circ\ \mathrm{V}$

Podle druhého Kirchhoffova zákona:

$\displaystyle \underline{U}=\underline{U}_R+\underline{U}_L$

Moduly 127,6 V a 191,4 V se nesčítají aritmeticky, protože napětí mají rozdílné fázové úhly. Jejich komplexní součet dává napětí zdroje 230 V.

Kirchhoffovy zákony v trojfázové soustavě

V uzlu trojfázové soustavy je algebraický součet fázorů všech připojených proudů roven nule:

$\displaystyle \underline{I}_{L1}+\underline{I}_{L2}+\underline{I}_{L3}+\underline{I}_{N}=0$

Znaménka závisejí na zvolených směrech. Pokud jsou fázové proudy definovány směrem do uzlu a proud N směrem z uzlu, musí být člen I_N zapsán s opačným znaménkem.

Pro symetrickou lineární zátěž mají fázové proudy stejnou velikost a jsou posunuty o 120°:

$\displaystyle \underline{I}_{L1}+\underline{I}_{L2}+\underline{I}_{L3}=0$

V ideálně symetrickém systému je proud nulovým vodičem roven nule. Při nesymetrii nebo výskytu vyšších harmonických však může být proud vodičem N významný.

Bilance proudů je důležitá při návrhu rozvaděčů, přípojnic a vodičů. Samotné KCL ale nenahrazuje kontrolu tepelných podmínek popsaných v tabulce proudové zatížitelnosti vodičů.

Použití v průmyslové elektrotechnice

Řídicí obvody a automatizace

KCL umožňuje analyzovat rozdělení proudů mezi PLC, moduly vstupů a výstupů, snímače, relé a cívky elektromagnetických ventilů. KVL pomáhá vyhledávat úbytky napětí ve vodičích, kontaktech, konektorech a ochranných přístrojích.

Rozvaděče a víceuzlové sítě

Každou přípojnici nebo spojovací bod lze modelovat jako uzel. Po zadání admitancí transformátorů, vedení, odběrů a zdrojů vznikne soustava uzlových rovnic celé sítě.

Maticový vztah:

$\displaystyle \mathbf{Y}_{\mathrm{bus}}\mathbf{\underline{U}}_{\mathrm{bus}}=\mathbf{\underline{I}}_{\mathrm{bus}}$

tvoří základ síťového modelu. Výpočty toků výkonu jej doplňují o nelineární rovnice výkonových bilancí, protože odběry bývají zadány výkonem, nikoli konstantním proudem.

Zkratové výpočty

Při zkratu se v místě poruchy setkávají proudy z transformátorů, generátorů, motorů a výkonových měničů. Jejich rozdělení stále vychází z KCL, KVL a impedancí jednotlivých částí sítě.

Standardizované výpočty zkratových proudů se však neomezují na jednu jednoduchou Kirchhoffovu rovnici. Používají modely zdrojů, transformátorů, vedení a pravidla aktuálního vydání IEC 60909-0:2026 a souvisejících částí souboru IEC 60909.

Simulace SPICE

Simulátor obvodu sestavuje rovnice vycházející z Kirchhoffových zákonů a modelů prvků a následně je řeší numericky. Podle typu analýzy určuje stejnosměrný pracovní bod, frekvenční odezvu nebo časové průběhy.

Modifikovaná metoda uzlových napětí rozšiřuje klasickou uzlovou analýzu o další neznámé, například proudy ideálními zdroji napětí a cívkami. Díky tomu lze jednotně sestavit maticový model rozsáhlého obvodu.

Kirchhoffovy zákony a rovnice prvků

Kirchhoffovy zákony samy neurčují chování rezistoru, motoru, transformátoru ani kondenzátoru. Popisují vazby mezi proudy a napětími vyplývající z topologie sítě.

Úplný model vznikne spojením:

KCL – bilance proudů v uzlech,
KVL – bilance napětí ve smyčkách,
prvkových neboli konstitutivních rovnic,
počátečních podmínek a zdrojových buzení.

Pro sériový obvod R-L vede druhý Kirchhoffův zákon k diferenciální rovnici:

$\displaystyle u_s(t)-Ri(t)-L\frac{di(t)}{dt}=0$

Derivaci proudu nezavádí KVL samo o sobě. Vyplývá z rovnice popisující napětí na cívce.

Kontrola bilance výkonů

Po vyřešení obvodu je vhodné ověřit také bilanci výkonů. Při pasivní znaménkové konvenci musí být součet výkonů všech prvků roven nule:

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} p_k(t)=0$

Kladný výkon znamená příkon prvku, záporný výkon znamená výkon dodávaný prvkem do obvodu. V harmonickém ustáleném stavu lze při stejné konvenci zkontrolovat bilanci komplexních výkonů:

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\underline{S}_k=0$

Nesplněná bilance obvykle ukazuje na chybu znaménka, směru proudu, hodnoty impedance nebo na vynechaný prvek.

Kdy model se soustředěnými parametry nestačí

Klasická teorie obvodů používá model se soustředěnými parametry. Předpokládá, že odpor, indukčnost a kapacitu lze přiřadit jednotlivým prvkům a spojovací vodiče lze považovat za ideální nebo je nahradit jednoduchými parametry.

Toto přiblížení je obvykle dostatečné pro obvody 24 V DC, sítě 50 Hz, běžné řídicí systémy a mnoho průmyslových instalací. Může být nedostatečné při:

dlouhých motorových kabelech napájených z frekvenčního měniče,
rychlých hranách napětí PWM,
komunikačních sběrnicích,
vysokofrekvenčních obvodech,
významných indukčních a kapacitních vazbách,
rozsáhlých smyčkách vodičů v časově proměnném magnetickém poli.

Pokud je délka vedení významná vzhledem k vlnové délce nebo není zanedbatelná doba šíření signálu, je nutný model s rozloženými parametry, například model přenosového vedení.

Druhý zákon a časově proměnný magnetický tok

Obecný elektromagnetický vztah pro uzavřenou dráhu vychází z Faradayova zákona:

$\displaystyle \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=-\frac{d\Phi_B}{dt}$

Pokud smyčkou prochází časově proměnný magnetický tok, není elektrické pole konzervativní a objeví se indukované elektromotorické napětí. Klasický tvar KVL je proto nutné použít pouze v rámci správně sestaveného modelu se soustředěnými parametry.

Indukované napětí se v obvodovém modelu zahrnuje například jako napětí cívky, vzájemná indukčnost, řízený zdroj nebo další zdroj napětí. Pokud takový model nestačí, je nutné použít obecnější elektromagnetický popis.

Kirchhoffovy zákony a návrh instalace

Kirchhoffovy zákony umožňují vypočítat proudy a napětí, ale samy neurčují dovolené zatížení vodiče, vypínací schopnost ochranného přístroje ani potřebný rezervovaný příkon.

Při návrhu instalace je nutné výsledky analýzy spojit s proudovou zatížitelností, úbytkem napětí, zkratovými podmínkami a požadavky ochrany. Vztah příkonu, proudu a hlavního jističe je podrobněji vysvětlen v tabulce hlavních jističů a příkonu.

Nejčastější chyby při sestavování rovnic

Míchání různých znaménkových konvencí v jedné rovnici.
Změna zvoleného směru proudu v průběhu výpočtu.
Považování záporného výsledku proudu za chybu místo informace o opačném směru.
Zápis KVL pro dráhu, která není uzavřená.
Aritmetické sčítání modulů napětí ve střídavém obvodu místo sčítání fázorů.
Záměna smyčkového proudu za skutečný proud společné větve.
Sestavení příliš mnoha vzájemně závislých rovnic.
Opomenutí superuzlu u ideálního zdroje napětí mezi dvěma uzly.
Použití klasické metody smyčkových proudů bez kontroly planarity obvodu.
Opomenutí indukovaného napětí při časově proměnném magnetickém toku.

Další technické tabulky a výpočtové materiály najdete v přehledu Technické nástroje.

Kirchhoffovy zákony – první a druhý zákon