Prawo Kirchhoffa

Prawo Kirchhoffa obejmuje dwie podstawowe zasady analizy obwodów elektrycznych. Pierwsze prawo opisuje bilans prądów w węźle, a drugie – bilans napięć w zamkniętej pętli. W połączeniu z równaniami rezystorów, cewek, kondensatorów i źródeł umożliwiają analizę zarówno prostych obwodów DC, jak i rozbudowanych sieci przemysłowych.

Prawa Kirchhoffa są podstawą metody potencjałów węzłowych, metody prądów oczkowych, obliczeń zwarciowych, modeli sieci trójfazowych oraz symulatorów typu SPICE. Nie dotyczą wyłącznie szkolnych obwodów z baterią i rezystorem – stanowią topologiczny szkielet współczesnej teorii obwodów.

Pierwsze i drugie prawo Kirchhoffa – wzory

Prawo	Postać algebraiczna	Znaczenie
Pierwsze prawo Kirchhoffa	$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} I_k = 0$	Algebraiczna suma prądów w węźle jest równa zeru.
Drugie prawo Kirchhoffa	$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} U_k = 0$	Algebraiczna suma napięć w zamkniętej pętli jest równa zeru.

W pierwszym równaniu prądom wpływającym i wypływającym trzeba nadać przeciwne znaki. W drugim równaniu znaki napięć zależą od przyjętego kierunku obchodzenia pętli oraz biegunowości źródeł i elementów.

Węzeł, gałąź, pętla i oczko

Przed zapisaniem równań trzeba prawidłowo rozpoznać strukturę obwodu. W analizie topologicznej stosuje się kilka odrębnych pojęć.

Pojęcie	Znaczenie
Węzeł	Zbiór punktów połączonych idealnymi przewodami, które mają ten sam potencjał.
Gałąź	Element albo zespół elementów połączonych pomiędzy dwoma węzłami.
Droga	Ciąg kolejnych gałęzi, przez które można przejść w obwodzie.
Pętla	Dowolna zamknięta droga rozpoczynająca się i kończąca w tym samym węźle.
Oczko	Pętla, która nie zawiera wewnątrz innej pętli.

Drugie prawo Kirchhoffa można zapisać dla dowolnej zamkniętej pętli. Metoda prądów oczkowych wykorzystuje natomiast specjalnie wybrany zestaw niezależnych oczek.

Pierwsze prawo Kirchhoffa

Pierwsze prawo Kirchhoffa, nazywane również prawem prądowym lub KCL od angielskiego Kirchhoff’s Current Law, wynika z zasady zachowania ładunku elektrycznego.

Jeżeli w idealizowanym węźle nie następuje trwałe gromadzenie ładunku, suma prądów wpływających musi być równa sumie prądów wypływających:

$\displaystyle \sum I_{\mathrm{wpływających}} = \sum I_{\mathrm{wypływających}}$

Po przyjęciu prądów wpływających jako dodatnich, a wypływających jako ujemnych, równanie przyjmuje postać:

$\displaystyle I_1 + I_2 - I_3 - I_4 = 0$

Przykład: rozdział prądu w obwodzie sterowania 24 V DC

Do punktu rozdziału zasilania w szafie sterowniczej wpływa prąd 3,6 A. Z węzła zasilane są trzy grupy odbiorników:

sterownik PLC i moduły wejść/wyjść: 1,2 A,
czujniki oraz przetworniki: 0,8 A,
cewki przekaźników i styczników: prąd nieznany.

Równanie węzła ma postać:

$\displaystyle 3{,}6 - 1{,}2 - 0{,}8 - I_4 = 0$

Stąd:

$\displaystyle I_4 = 3{,}6 - 1{,}2 - 0{,}8 = 1{,}6\ \mathrm{A}$

Jeżeli suma zmierzonych prądów odpływowych nie odpowiada prądowi zasilającemu, przyczyną może być pominięta gałąź, błąd pomiaru, prąd upływu albo nieprawidłowo zidentyfikowany punkt obwodu.

Drugie prawo Kirchhoffa

Drugie prawo Kirchhoffa, nazywane prawem napięciowym lub KVL od angielskiego Kirchhoff’s Voltage Law, opisuje bilans zmian potencjału w zamkniętej pętli.

Algebraiczna suma napięć źródeł i spadków napięcia na elementach obwodu jest równa zeru:

$\displaystyle \sum E_k - \sum U_k = 0$

Równoważnie można zapisać:

$\displaystyle \sum E_k = \sum U_k$

Energia przekazana jednostkowemu ładunkowi przez źródła jest równa energii przekazanej odbiornikom i straconej na rezystancjach przewodów, styków oraz połączeń.

Zasady znaków w równaniu napięciowym

Element i kierunek przejścia	Zmiana potencjału
Rezystor, przejście zgodne z kierunkiem prądu	$-RI$
Rezystor, przejście przeciwne do kierunku prądu	$+RI$
Źródło, przejście od zacisku ujemnego do dodatniego	$+E$
Źródło, przejście od zacisku dodatniego do ujemnego	$-E$

Kierunek obchodzenia pętli można wybrać dowolnie. Zmiana kierunku spowoduje zmianę znaków wszystkich składników, ale po konsekwentnym zapisaniu równania wynik fizyczny pozostanie taki sam.

Przykład: spadki napięcia w obwodzie cewki stycznika

Cewka stycznika jest zasilana napięciem 24 V DC i pobiera prąd 0,4 A. Łączna rezystancja przewodów wynosi 2 Ω, a rezystancja styków i zacisków 0,5 Ω.

Spadek napięcia na przewodach:

$\displaystyle U_p = I R_p = 0{,}4 \cdot 2 = 0{,}8\ \mathrm{V}$

Spadek na stykach i zaciskach:

$\displaystyle U_s = I R_s = 0{,}4 \cdot 0{,}5 = 0{,}2\ \mathrm{V}$

Napięcie na cewce wynosi więc:

$\displaystyle U_c = 24 - 0{,}8 - 0{,}2 = 23\ \mathrm{V}$

Kontrola drugiego prawa Kirchhoffa:

$\displaystyle 24 - 0{,}8 - 0{,}2 - 23 = 0$

Taki bilans jest użyteczny podczas diagnostyki maszyn. Jeżeli na cewce występuje zbyt małe napięcie, pomiary kolejnych spadków pozwalają wskazać przewód, styk, bezpiecznik albo zacisk o podwyższonej rezystancji.

Kierunki prądów można przyjmować dowolnie

Przed rozwiązaniem obwodu nie zawsze wiadomo, w którą stronę rzeczywiście popłynie prąd. Kierunek można wtedy założyć umownie.

Jeżeli po rozwiązaniu równania otrzymamy:

$\displaystyle I = -2{,}4\ \mathrm{A}$

nie oznacza to błędu obliczeń. Znak ujemny informuje, że rzeczywisty prąd ma wartość 2,4 A i płynie przeciwnie do kierunku przyjętego na schemacie.

Ile równań Kirchhoffa trzeba zapisać?

Nie wszystkie równania węzłów i pętli są niezależne. Dopisywanie każdego możliwego równania może prowadzić do powtarzania tej samej informacji.

Dla jednej spójnej sieci zawierającej:

N – liczbę węzłów,
B – liczbę gałęzi,

liczba niezależnych równań węzłowych wynosi:

$\displaystyle N - 1$

Liczba niezależnych pętli wynosi:

$\displaystyle L = B - N + 1$

Jeden węzeł wybiera się jako węzeł odniesienia. Jego potencjał przyjmuje się zwykle jako 0 V, dlatego pozostaje maksymalnie N − 1 niezależnych potencjałów węzłowych.

W przypadku sieci składającej się z kilku niepołączonych części ogólna liczba niezależnych pętli wynosi:

$\displaystyle L = B - N + C$

gdzie C oznacza liczbę spójnych części sieci.

Metoda potencjałów węzłowych

Metoda potencjałów węzłowych jest systematycznym zastosowaniem pierwszego prawa Kirchhoffa. Niewiadomymi są napięcia węzłów względem wybranego węzła odniesienia.

Wybierz węzeł odniesienia i przypisz mu potencjał 0 V.
Oznacz napięcia pozostałych węzłów.
Wyraź prądy gałęzi przez różnice potencjałów i parametry elementów.
Zapisz KCL dla niezależnych węzłów.
Rozwiąż otrzymany układ równań.

Przykład równania węzłowego

Węzeł o napięciu U jest połączony:

z napięciem 24 V przez rezystor 12 Ω,
z węzłem odniesienia przez rezystor 24 Ω,
ze źródłem prądowym 0,5 A skierowanym do analizowanego węzła.

Przyjmując prądy wypływające z węzła jako dodatnie:

$\displaystyle \frac{U-24}{12}+\frac{U}{24}-0{,}5=0$

Po pomnożeniu równania przez 24:

$\displaystyle 2U-48+U-12=0$

$\displaystyle 3U=60$

$\displaystyle U=20\ \mathrm{V}$

Prąd dopływający przez rezystor 12 Ω:

$\displaystyle I_1=\frac{24-20}{12}=0{,}333\ \mathrm{A}$

Prąd odpływający przez rezystor 24 Ω:

$\displaystyle I_2=\frac{20}{24}=0{,}833\ \mathrm{A}$

Bilans węzła:

$\displaystyle 0{,}333+0{,}5-0{,}833=0$

Postać macierzowa metody węzłowej

Dla liniowej sieci rezystancyjnej układ równań można zapisać jako:

$\displaystyle \mathbf{G}\mathbf{U}=\mathbf{I}$

G – macierz konduktancji,
U – wektor napięć węzłowych,
I – wektor prądów wprowadzanych do węzłów.

W stanie ustalonym prądu przemiennego macierz konduktancji zostaje zastąpiona macierzą admitancyjną:

$\displaystyle \mathbf{Y}\mathbf{\underline{U}}=\mathbf{\underline{I}}$

Takie równania są podstawą obliczeń wielowęzłowych sieci oraz komputerowych programów do analizy obwodów.

Metoda prądów oczkowych

Metoda prądów oczkowych jest systematycznym zastosowaniem drugiego prawa Kirchhoffa. Niewiadomymi są umowne prądy przypisane poszczególnym oczkom sieci.

Rozważmy dwa oczka:

pierwsze ze źródłem 24 V i rezystorem 4 Ω,
drugie ze źródłem 12 V i rezystorem 6 Ω,
rezystor wspólny obu oczek ma 2 Ω.

Przyjmijmy prądy oczkowe I₁ oraz I₂ skierowane zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Równania KVL mają postać:

$\displaystyle (4+2)I_1-2I_2=24$

$\displaystyle -2I_1+(6+2)I_2=12$

Po uproszczeniu:

$\displaystyle 6I_1-2I_2=24$

$\displaystyle -2I_1+8I_2=12$

Rozwiązanie układu:

$\displaystyle I_1=\frac{54}{11}\approx4{,}91\ \mathrm{A}$

$\displaystyle I_2=\frac{30}{11}\approx2{,}73\ \mathrm{A}$

Prąd w rezystorze wspólnym jest różnicą prądów oczkowych:

$\displaystyle I_3=I_1-I_2=\frac{24}{11}\approx2{,}18\ \mathrm{A}$

Prąd oczkowy jest zmienną obliczeniową. W gałęzi należącej tylko do jednego oczka jest równy prądowi gałęzi, natomiast w gałęzi wspólnej występuje suma albo różnica odpowiednich prądów oczkowych.

Prawa Kirchhoffa w obwodach prądu przemiennego

Prawa Kirchhoffa obowiązują również w obwodach AC. W dziedzinie czasu zapisuje się je dla wartości chwilowych:

$\displaystyle \sum i_k(t)=0$

$\displaystyle \sum u_k(t)=0$

W stanie ustalonym sinusoidalnym można używać zespolonych wartości skutecznych, nazywanych wskazami:

$\displaystyle \sum \underline{I}_k=0$

$\displaystyle \sum \underline{U}_k=0$

Prawo Ohma przyjmuje wówczas postać:

$\displaystyle \underline{U}=Z\underline{I}$

Element	Równanie w dziedzinie czasu	Impedancja w stanie sinusoidalnym
Rezystor	$u(t)=Ri(t)$	$Z_R=R$
Cewka	$\displaystyle u(t)=L\frac{di(t)}{dt}$	$Z_L=j\omega L$
Kondensator	$\displaystyle i(t)=C\frac{du(t)}{dt}$	$\displaystyle Z_C=\frac{1}{j\omega C}$

Przykład obwodu szeregowego R–L

Do szeregowego obwodu zawierającego rezystor 20 Ω i cewkę o reaktancji 30 Ω przyłożono napięcie skuteczne 230 V.

Impedancja:

$\displaystyle Z=20+j30\ \Omega$

Jej moduł:

$\displaystyle |Z|=\sqrt{20^2+30^2}=36{,}06\ \Omega$

Kąt impedancji:

$\displaystyle \varphi=\arctan\left(\frac{30}{20}\right)=56{,}31^\circ$

Prąd:

$\displaystyle \underline{I}=\frac{230\angle0^\circ}{36{,}06\angle56{,}31^\circ}=6{,}38\angle-56{,}31^\circ\ \mathrm{A}$

Napięcie na rezystorze:

$\displaystyle \underline{U}_R=127{,}6\angle-56{,}31^\circ\ \mathrm{V}$

Napięcie na cewce:

$\displaystyle \underline{U}_L=191{,}3\angle33{,}69^\circ\ \mathrm{V}$

Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa:

$\displaystyle \underline{U}=\underline{U}_R+\underline{U}_L$

Modułów 127,6 V i 191,3 V nie dodaje się arytmetycznie, ponieważ napięcia mają różne kąty fazowe. Ich suma zespolona daje napięcie źródła 230 V.

Prawa Kirchhoffa w sieci trójfazowej

W punkcie gwiazdowym sieci trójfazowej algebraiczna suma wskazów prądów wszystkich przyłączonych przewodów jest równa zeru:

$\displaystyle \underline{I}_{L1}+\underline{I}_{L2}+\underline{I}_{L3}+\underline{I}_{N}=0$

Znaki zależą od przyjętych zwrotów prądów. Dla symetrycznego obciążenia liniowego prądy fazowe mają równe wartości i są przesunięte o 120°:

$\displaystyle \underline{I}_{L1}+\underline{I}_{L2}+\underline{I}_{L3}=0$

W idealnym układzie symetrycznym prąd przewodu neutralnego jest więc równy zeru. Przy niesymetrii obciążenia albo obecności harmonicznych prąd neutralny może osiągać znaczną wartość.

Bilans prądów jest istotny między innymi przy doborze rozdzielnic, szyn zbiorczych i przewodów. Sama suma prądów nie zastępuje jednak sprawdzenia warunków cieplnych opisanych w materiale tabela obciążalności przewodów.

Zastosowanie w elektrotechnice przemysłowej

Obwody sterowania i automatyki

KCL pozwala analizować rozdział prądów pomiędzy sterowniki PLC, moduły wejść i wyjść, czujniki, przekaźniki oraz cewki elektrozaworów. KVL umożliwia lokalizowanie spadków napięcia w przewodach, stykach, złączach i zabezpieczeniach.

Rozdzielnice i sieci wielowęzłowe

Każdą szynę lub punkt połączenia można traktować jako węzeł. Po zapisaniu admitancji transformatorów, linii, odbiorów i źródeł powstaje układ równań węzłowych opisujący całą sieć.

Macierzowa postać:

$\displaystyle \mathbf{Y}_{\mathrm{bus}}\mathbf{\underline{U}}_{\mathrm{bus}}=\mathbf{\underline{I}}_{\mathrm{bus}}$

jest punktem wyjścia do analizy rozpływów, zwarć, zmian napięcia i zachowania sieci po przełączeniach.

Obliczenia zwarciowe

Podczas zwarcia prądy dopływające z transformatorów, generatorów, silników i przekształtników spotykają się w miejscu uszkodzenia. Ich wartości i rozpływ nadal wynikają z KCL, KVL oraz impedancji elementów sieci.

Profesjonalne obliczenia nie polegają jednak na jednym prostym równaniu. Uwzględniają modele źródeł, transformatorów, linii, składowych symetrycznych oraz reguły przyjęte w metodzie obliczeniowej, np. w serii IEC 60909.

Symulacja SPICE

Symulator obwodów tworzy równania wynikające z praw Kirchhoffa oraz modeli elementów, a następnie rozwiązuje je numerycznie. W zależności od rodzaju analizy wyznacza punkt pracy DC, odpowiedź częstotliwościową AC albo przebiegi czasowe.

Zmodyfikowana analiza węzłowa rozszerza klasyczną metodę potencjałów węzłowych o dodatkowe niewiadome, np. prądy idealnych źródeł napięcia i cewek. Dzięki temu można tworzyć jednolity macierzowy model rozbudowanego obwodu.

Prawa Kirchhoffa i równania elementów

Same prawa Kirchhoffa nie określają zachowania rezystora, silnika, transformatora ani kondensatora. Opisują wyłącznie wzajemne powiązanie prądów i napięć wynikające z topologii sieci.

Pełny model powstaje dopiero po połączeniu:

KCL – bilansu prądów w węzłach,
KVL – bilansu napięć w pętlach,
równań konstytutywnych poszczególnych elementów,
warunków początkowych i wymuszeń źródłowych.

Przykładowo dla szeregowego obwodu R–L drugie prawo Kirchhoffa prowadzi do równania różniczkowego:

$\displaystyle u_s(t)-Ri(t)-L\frac{di(t)}{dt}=0$

To nie KVL samo w sobie wprowadza pochodną prądu. Pochodzi ona z równania opisującego napięcie na cewce.

Kontrola bilansu mocy

Po rozwiązaniu obwodu warto sprawdzić również bilans mocy. Przy pasywnej konwencji znaków suma mocy wszystkich elementów powinna wynosić zero:

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} p_k(t)=0$

Moc dodatnia oznacza pobór energii przez element, a ujemna – jej oddawanie do obwodu. W stanie ustalonym sinusoidalnym analogicznie można sprawdzić bilans mocy zespolonych:

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\underline{S}_k=0$

Niespełnienie bilansu zwykle wskazuje na błąd znaku, kierunku prądu, wartości impedancji albo pominięcie któregoś elementu.

Kiedy prosty model Kirchhoffa przestaje wystarczać?

Klasyczna teoria obwodów opiera się na modelu elementów skupionych. Zakłada on, że rezystancja, indukcyjność i pojemność mogą zostać przypisane do oddzielnych elementów, a przewody łączące węzły można traktować jako idealne albo opisać pojedynczymi parametrami zastępczymi.

Takie przybliżenie jest zwykle wystarczające dla obwodów 24 V DC, sieci 50 Hz, klasycznych układów sterowania i wielu instalacji przemysłowych. Może być jednak niewystarczające przy:

długich kablach silnikowych zasilanych z falownika,
szybkich zboczach napięcia PWM,
magistralach komunikacyjnych,
obwodach wysokiej częstotliwości,
sprzężeniach indukcyjnych i pojemnościowych,
rozległych pętlach przewodów znajdujących się w zmiennym polu magnetycznym.

Jeżeli długość przewodu staje się istotna w porównaniu z długością fali albo czas propagacji nie jest pomijalny względem czasu zmian sygnału, potrzebny jest model o parametrach rozłożonych, np. model linii transmisyjnej.

Drugie prawo a zmienny strumień magnetyczny

Dokładne elektromagnetyczne ujęcie zamkniętej drogi wynika z prawa indukcji Faradaya:

$\displaystyle \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=-\frac{d\Phi_B}{dt}$

Jeżeli pętla obejmuje zmienny strumień magnetyczny, pole elektryczne nie jest zachowawcze i pojawia się indukowana siła elektromotoryczna. W modelu obwodowym trzeba ją uwzględnić jako dodatkowe źródło albo napięcie indukowane.

Po uwzględnieniu wszystkich źródeł i napięć indukowanych bilans pętli pozostaje kompletny. Nie oznacza to, że prawa Kirchhoffa przestają obowiązywać – przestaje wystarczać zbyt prosty model schematu.

Prawo Kirchhoffa a dobór instalacji

Prawa Kirchhoffa pozwalają obliczyć prądy i napięcia, ale nie określają samodzielnie dopuszczalnego obciążenia przewodu, zdolności wyłączania zabezpieczenia ani wymaganej mocy przyłączeniowej.

Przy projektowaniu instalacji wyniki analizy obwodu trzeba połączyć między innymi z obciążalnością cieplną przewodów, spadkiem napięcia, warunkami zwarciowymi i wymaganiami ochronnymi. Zależność mocy, prądu i zabezpieczenia została szerzej przedstawiona w materiale moc przyłączeniowa – tabela zabezpieczeń.